Het driedeurenprobleem
Het driedeurenprobleem (ook wel Monty Hall probleem, of de drie gevangenen genoemd) is een probleem uit de kansrekening en speltheorie dat altijd veel vragen en opmerkingen krijgt. Het kreeg bekendheid door de Amerikaanse spelshow “Let’s Make a Deal” met presentator Monty Hall. Het probleem is als volgt: “Stel dat je deelneemt aan een spelprogramma en je mag kiezen uit drie deuren: achter één van de deuren staat een mooie auto, achter de andere twee staan nutteloze geiten. Je kiest een deur, bijvoorbeeld #1, en de presentator (die weet wat er achter de deuren staat) opent een andere deur, bijvoorbeeld #3, met een geit erachter. Hij zegt dan tegen je: “Zou je willen wisselen naar deur #2?” Is het in je voordeel om van deur te wisselen?”
Uitleg
Laten we het probleem eens analyseren. In een quiz wordt een deelnemer geconfronteerd met drie gesloten deuren. Achter een van de deuren staat een auto (of een ander waardevol voorwerp), achter de andere twee een geit (of iets anders van ‘weinig’ waarde). De deelnemer mag een deur aanwijzen en krijgt als prijs datgene wat zich achter die deur bevindt. Als de deelnemer een deur heeft aangewezen, opent de presentator een van de andere deuren waarachter een geit staat. De presentator geeft de deelnemer daarna de mogelijkheid om te wisselen van gesloten deur, dus om in plaats van de eerst gekozen deur te kiezen voor de andere nog gesloten deur. Wat moet de deelnemer doen? Kan hij beter wisselen van deur, of maakt het niets uit?
In principe is de vraag met deze informatie niet te beantwoorden. We veronderstellen dat de presentator altijd een van de deuren met een geit erachter opent en als achter de deuren 2 en 3 allebei een geit staat, hij willekeurig een van de twee uitkiest.
Stel de speler kiest deur 1. De presentator opent deur 3 en wijst een geit aan. Als de auto achter deur 2 staat, zal de presentator altijd deur 3 openen; deze situatie doet zich voor met kans 1/3. Als de auto achter deur 1 staat, zal de presentator maar in de helft van de gevallen deur 3 openen; deze situatie doet zich voor met kans 1/6. De auto staat in de gegeven situatie dus twee keer zo vaak achter deur 2 als achter deur 1. Door van keuze te wisselen wint de speler dus in 2/3 van de gevallen de auto, i.p.v. 1/3. Door te wisselen verdubbelt de speler dus zijn winkans.
De speler kiest deur 1. De presentator opent een andere deur, in dit geval 2, met een geit.
De speler mag nu kiezen, blijven bij deur 1, of wisselen naar deur 2.
Deur 1 houden blijft 1/3 kans, wisselen heeft een gecombineerde kans van 2/3, maar aangezien al duidelijk is dat deur 3 een geit is, is de kans dus 2/3 op de andere deur.
Kansberekening
De berekening is vrij gemakkelijk in een tabel weer te geven.
| Deur #1 | Deur #2 | Deur #3 | Blijft bij keuze #1 | Wisselt van deur |
|---|---|---|---|---|
| Auto | Geit | Geit | Auto | Geit |
| Geit | Auto | Geit | Geit | Auto |
| Geit | Geit | Auto | Geit | Auto |
Als de speler bij zijn originele keuze blijft, dan blijft zijn kans 1/3. Als hij wisselt, dan verdubbelt hij zijn kans naar 2/3. De simpelste verklaring hiervoor is als volgt. De enige manier waarop de speler verliest als hij wisselt, is als hij de auto in eerste instantie al had aangewezen. Aangezien de kans daarvan 1/3 was, moet de kans dat hij wint met wisselen wel 2/3 zijn.
In formule vorm, er weer vanuit gaande dat de speler deur 1 kiest in eerste instantie.
- De auto zit achter deur 2 en de presentator opent deur 3 (1/3)*1 = 1/3.
- De auto zit achter deur 1 en de presentator opent deur 3 (1/3)*(1/2) = 1/6.
- Dit zijn de enige manieren dat deur 3 kan worden geopend. De kans dat deur 3 geopend wordt is dus (1/3)+(1/6) = 1/2.
- Doordat de presentator deur 3 opent, zit de auto achter deur 2 in (1/3)/(1/2) = 2/3 van de gevallen. Hetzelfde geldt dus als de presentator deur 2 opent, de auto zit dan achter deur 3 in (1/3)/(1/2) = 2/3 van de gevallen.
